300多年过去了，“三体问题”有解了吗(2)

对由N个常微分方程描述的力学系统，这样的限制条件被称为“首次积分”。1843年，数学家雅可比证明，只要找到N-2个首次积分，就可以完全解出N阶力学系统。

而“三体问题”正是一个18阶的力学系统。为了寻找常微分方程组的首次积分，找到“三体问题”的解析解，一代代数学家使出“十八般武艺”，试图从不同途径靠近答案。

1897年，瑞典与挪威的皇帝奥斯卡二世设立了奥斯卡二世大奖，列出了若干科学难题，其中一个就跟“三体问题”有关。该问题要求科学家给出“N体”中每个质点在任意时间上由已知函数构成的、一致收敛的级数解。

今天，人们已经知道，“三体问题”不存在这样的解析解，或者说不存在一般意义上的通解，然而数学家庞加莱却凭借对“三体问题”的研究获得了奥斯卡二世大奖。

“他获奖并不是因为找到了这个解，而是因为证明在绝大多数情况下，这样的解不存在。”周礼勇介绍，“获奖后，庞加莱还证明不存在更多的首次积分——此前已经有数学家找出了10个被称为‘经典积分’的首次积分。科学家都在思考‘三体问题’能不能解决，而庞加莱的答案是：不能解决。”

庞加莱以否定的方式解决了问题，宣告“三体问题”在通常意义下没有解析解。

1912年，芬兰数学家松德曼证明，除三体碰撞奇点的情况外，“三体问题”存在一个级数解。然而，这个级数解收敛太慢，如果想要应用它，需要写下10的800万次方项——这意味着，松德曼给出的级数解完全不可能实现实际应用。

到庞加莱和松德曼的时代，“三体问题”似乎已经走到了终点，该告一段落了，但科学家不这么想。

借助超级计算机找周期解，有用吗？

明知不可为而为之，有时正是科学的一部分。

数学家已经证明，“三体问题”没有解析形式的通解。但这并不意味着人们在这个问题上无路可走——迄今为止，科学家已经发现了成千上万族周期解。

“三体问题”既不可解又可解。当它不可解时，宛如导向了科学的“死胡同”，当它可解时，又能“冒出”海量特解，这看上去似乎十分矛盾。其实，寻找通解和特解一直是“三体问题”的两个分支。通俗地说，通解是适用于所有条件的解，而特解则是在一个或多个条件下得到的解。

周礼勇表示，“三体问题”的一类特解是周期解。所谓周期解是指天体运动的一种特殊轨道，在这样的轨道上任选一点，天体在经过一个周期后必然会以同样的速度再次通过这个点。

最先找到“三体问题”周期解的是数学家欧拉。在三个天体总是处在一条直线上的条件下，他找到了3个周期解，它们被称为“欧拉解”。此后，数学家拉格朗日在三个天体呈等边三角形构型的条件下，找到了2个周期解，这一族周期解连同“欧拉解”被统称为“拉格朗日解”，而这5个特解所在的位置又叫作“拉格朗日点”。

在寻找周期解的路上，庞大的计算量是绕不开的“拦路虎”，在用纸笔计算的年代，这项工作在很长一段时间里进展缓慢。进入计算机时代后，周期解的数量开始大幅增加：

2013年，塞尔维亚科学家利用计算机，成功找出了13族周期解。

2017年，上海交通大学廖世俊教授团队利用超级计算机，发现了695族周期解。此后，该团队发现了更多周期解。2022年，他们提出了求解“三体问题”周期解的路线图。

“超级计算机、机器学习、人工智能等工具会帮助‘三体问题’取得更多进展。”周礼勇表示，“人们求解‘三体问题’时，无非是要总结规律。这个规律在复杂的‘三体’系统里隐藏得很深，目前的人类大脑可能暂时无法找出这种规律。”

“使用超级计算机或人工智能或许能够找到规律，但想要理解规律，彻底解决‘三体问题’，还需要人类的理性。”周礼勇补充说。

找到更多周期解，探寻“三体”乃至“N体”的运动规律，对人类来说有用吗？