走近数学世界 培育数学素养（开卷知新）(2)

　　应用数学是数学的重要组成部分。在20世纪以前，虽然很多数学工作与实际应用密切相关，但应用数学这个名称用得很少，并没有形成特别有影响的独立分支。进入20世纪后，应用数学快速成长，出现了计算数学、运筹学、控制论、组合数学、博弈论、信息论、数理统计等多个应用数学分支。计算机的出现进一步推动应用数学发展，还产生了很多交叉方向，如计算机数学、人工智能等。生物科学的迅速发展也涌现很多数学问题，现在有生物数学这一交叉分支，它关注的是用数学模型理解生物现象。物理一直是数学发展的强大推动力量。在20世纪，数学物理成为数学的一个重要分支，在过去几十年间非常活跃，成果显著。它主要关注规范场论、量子场论、弦论、统计物理等领域的数学问题。

　　我们现在非常强调交叉，原因在于不同学科其实是现实不同侧面的反映，只有结合起来，我们才能对现实有更全面的认知。就像“盲人摸象”，每个学科可能只摸到一个局部、一个侧面，把所有的部分合起来，才会形成完整的“象”。在不同分支、不同学科交叉的过程中，数学也在不断产生新的概念、方法、理论等。

　　如今人类社会正步入人工智能时代，数学在其中起到的作用更是基础性的。计算数学、优化、统计等数学分支发挥突出作用，数论、微分几何等更多数学分支也不可或缺。人工智能也有力促进了数学的发展并提出很多极具挑战的数学问题，其中之一是人工智能的数学基础，如面向大数据的统计学基础、人工智能大模型的数学机理等。

　　培育和提升大众数学素养

　　在现代社会，数学素养已经成为公民的基本素养，世界各国都非常重视。数学有助于培养人的逻辑推理能力，因为数学的大厦是通过逻辑支撑的，逻辑把数学不同的内容组织在一起。当然，数学中的逻辑主要是演绎和归纳，是形式逻辑，现实的逻辑要复杂得多，仅有形式逻辑是不够的。

　　对学习数学而言，尤为重要的是获得数学思维。掌握了数学的思维方式、知道怎么考虑问题等，比单纯获得数学知识要有价值得多。数学直觉是数学思维的重要组成部分。欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思维可以说是数学思维的典型例子，欧拉把陆地抽象成点，桥抽象成线段，从而揭示问题的数学本质，进而解决问题。

　　培养数学素养，最好还能了解数学的发展史，它能帮助我们深入认识数学。从数学史中我们可以了解到数学的发展历程一点都不枯燥，虽探索艰辛却充满了有趣的故事、生动的人物、引人入胜的例子。比如，数学史上关于数与形的观念变化就很有意思，无理数、负数、虚数都经历了一个漫长曲折的接受过程。

　　理解数学符号体系的意义也很重要。恰当的符号体系价值巨大，数学发展史上经常出现记号与数学理论进展密不可分的情况。莱布尼茨在微积分中引入的记号就是一个典范。在16世纪以前，几乎没人考虑过在代数领域系统使用符号，致使代数发展缓慢；16世纪法国数学家韦达在这方面作出了突出贡献，此后代数思想才得以更有效地表达。

　　在数学的发展过程中，很多数学家的哲学观也产生了深远影响。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”“数统治着宇宙”，柏拉图学派认为“纯粹思想的最高形式是数学”，高斯说“数学是科学的皇后”，等等。这些观点对科学文化有巨大影响，很多杰出的科学家，甚至人文学者对数学都有一种敬畏。数学家研究数学时的心理活动和背后的出发点同样很有意思。比如，笛卡尔创立解析几何（即坐标几何）与他的批判精神是分不开的。他说：“我决心离弃仅有抽象的几何，即仅为练习头脑设立问题的几何；这样做，是为了研究另一种几何，旨在自然现象的解释。”